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阿基里斯和乌龟的问题,是一个无穷收敛级数,

2019-10-01 00:42

以大地为参考系时
  设
  乌龟的速度为a
  人的速度为b
  相距为s
  
  
  以乌龟为参考系
  乌龟出发点的速度为-a
  人的速度此时为b-a
  人与乌龟出发点之间的速度为b
  
  当人与乌龟之间距离为s时
  人走的距离(b-a)s/b
  人与乌龟之间的距离变成 s-(b-a)s/b=as/b
  
  [(b-a)/b]*s+(a/b)[(b-a)/b]*s+[(a/b)^2][(b-a)/b]*s+[(a/b)^3][(b-a)/b]*s+..............
  
  无穷等比级数
  公比为a/b 小与1
  
  无穷等比级数的和为a1/(1-q)={[(b-a)/b]s}/[1-(a/b)]=s
  等于人与乌龟的最初距离

不引入第三变量来交换变量值,其中最常用的就应该是位运算了:

图片 1

int a=10=1010,int b=12=1100,

我们明白了光速是宇宙最大速度,是因为光的引力质量为零,不受宇宙间四大作用力影响,这是相对论的一个假设。但相对论的另一假设认为真空中的光速在不同参考系是相同的。这个本人不敢苟同。

a=a^b;//1010^1100=0110

针对麦尔逊所做的实验方法,让一束光线与地球运动方向一致,我们知道无论以多大速度Ⅴ运动,我们与地球的相对速度还是V。

b=a^b;//0110^1100=1010

而在与其垂直的方向上。我们知道地球逃逸速度Ⅴ1为11.2km/s,而环绕速度V2为7.9km/s。

a=a^b;//0110^1010=1100;

mgh=1/2m² - 1/2m²,

此算法能够实现是由异或运算的特点决定的,通过异或运算能够使数据中的某些位翻转,其他位不变,类似牌的的翻转,其实把a^b看做了一个tmp值,原理就是任意一个数与任意一个给定的值连续异或两次,值不变。

所以h = 3.15×10^6m。

估计以后面试可以可能会出到相关的吧。

所以当物体在距离地面高度小于h时,运动都在地球惯性参考系内,物体不会与地球运动方向上发生相对运动。

看到几个博主在这方面归纳的蛮好:

再到宇宙膨胀环境下,真空光速确为最大速度,但并非相对任何参考系不变。如图所示。

图片 2

前几天发现了一个问题:有人告诉我,要进行变量交换,就必须引入第三变量!
假设我们要交换a和b变量的值,如果写成
int a=5,b=10;
a=b;
b=a;
那么结果就是两个都是10,理由不言而喻。
所以就应该引入第三变量,在a的值被覆盖之前就把a的值保留好。
int a=5,b=10,tmp;
tmp=a;
a=b;
b=tmp;
这样,就要引入了第三个变量,然而,我们能不能不引入第三变量来实现变量交换呢?
答案自然是肯定的,首先我们可以这样设想,如果a的值被覆盖了,那么就没法知道b应该放什么值了,
所以,我们要保留a的值,因此我们可以把a和b的值合起来,放在a里,再把合起来的值分开,分别放到b和a中:
int a=5,b=10;
a=a+b;   //a=15,b=10
b=a-b;   //a=15,b=5
a=a-b;   //a=10,b=5
但是这样做有一个缺陷,假设它运行在vc6环境中,那么int的大小是4 Bytes,所以int变量所存放的最大值是2^31-1即2147483647,如果我们令a的值为2147483000,b的值为1000000000,那么a和b相加就越界了。
事实上,从实际的运行统计上看,我们发现要交换的两个变量,是同号的概率很大,而且,他们之间相减,越界的情况也很少,因此我们可以把上面的加减法互换,这样使得程序出错的概率减少:
int a=5,b=10;
a-=b;   //a=-5,b=10
b+=a;   //a=15,b=5
a+=b;   //a=10,b=5
通过以上运算,a和b中的值就进行了交换。表面上看起来很简单,但是不容易想到,尤其是在习惯引入第三变量的算法之后。
它的原理是:把a、b看做数轴上的点,围绕两点间的距离来进行计算。
具体过程:第一句“a-=b”求出ab两点的距离,并且将其保存在a中;第二句“b+=a”求出a到原点的距离(b到原点的距离与ab两点距离之差),并且将其保存在b中;第三句“a+=b”求出b到原点的距离(a到原点距离与ab两点距离之和),并且将其保存在a中。完成交换。
此算法与引入第三变量的算法相比,多了三个计算的过程,但是没有借助临时变量,因此我们称之为算术交换算法。

宇宙内任一点的膨胀是向四面八方的。假设物体A向任一方向的膨胀速度为a。那么为什么每条棱长方向的速度为2a呢?因为就AA'棱为例,暗物质能量是从AA'棱中心向两端推开,每一端速度为a,合计每条梭的速度为2a。所以A点在宇宙膨胀的速度为2√3a。而a∈,a的最大速度为光速c,那么空间的最大膨胀速度就是2√3c。

因外上面的算术交换算法有导致变量溢出的危险,所以我们再想办法引入一个逻辑运算——位异或,也能得到交换效果,而且不会导致溢出。
位异或运算符是“^”,它的作用是按照每个位进行异或运算,异或运算有一个特点:
通过异或运算能够使数据中的某些位翻转,其他位不变。这就意味着任意一个数与任意一个给定的值连续异或两次,值不变。 即:a^b^b=a。将a=a^b代入b=a^b则得b=a^b^b=a;同理可以得到a=b^a^a=b;
如存在c=a^b;这种关系后,任意给出两个变量进行位异或运算,都能得到剩下的第三个变量:
a=b^c;
b=a^c;
c=a^b;
因此位异或也常用于密码学中。
因为它是按位进行运算的,因此没有溢出的情况,在这里,我们运用位异或运算来交换变量的值。
int a=10,b=12; //a=1010^b=1100;
a=a^b; //a=0110^b=1100;
b=a^b; //a=0110^b=1010;
a=a^b; //a=1100=12;b=1010;
轻松完成交换。
理论上重载“^”运算符,也可以实现任意结构的交换

那么当宇宙膨胀速度达到最大之后,宇宙应该会收缩。

另外,如果变量较大,或者交换较复杂的类,这样交换也是很慢的,因此可以使用指针交换,
因为对地址的操作实际上进行的是整数运算,比如:两个地址相减得到一个整数,表示两个变量在内存中的储存位置隔了多少个字节;地址和一个整数相加即“a+10”表示以a为基地址的在a后10个a类数据单元的地址。所以理论上可以通过和算术算法类似的运算来完成地址的交换,从而达到交换变量的目的。即:
int *a,*b;
*a=new int(10);
*b=new int(20); //&a=0x00001000h,&b=0x00001200h
a=(int*)(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001200h
b=(int*)(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001000h
a=(int*)(b+int(a)); //&a=0x00001200h,&b=0x00001000h
通过以上运算a、b的地址真的已经完成了交换,且a指向了原先b指向的值,b指向原先a指向的值了吗?上面的代码可以通过编译,但是执行结果却令人匪夷所思!原因何在?
首先必须了解,操作系统把内存分为几个区域:系统代码/数据区、应用程序代码/数据区、堆栈区、全局数据区等等。在编译源程序时,常量、全局变量等都放入全局数据区,局部变量、动态变量则放入堆栈区。这样当算法执行到“a=(int*)(b-a)”时,a的值并不是0x00000200h,而是要加上变量a所在内存区的基地址,实际的结果是:0x008f0200h,其中0x008f即为基地址,0200即为a在该内存区的位移。它是由编译器自动添加的。因此导致以后的地址计算均不正确,使得a,b指向所在区的其他内存单元。再次,地址运算不能出现负数,即当a的地址大于b的地址时,b-a<0,系统自动采用补码的形式表示负的位移,由此会产生错误,导致与前面同样的结果。
有办法解决吗?当然有,以下是改进的算法:
if(a<b)
{
a=(int*)(b-a);
b=(int*)(b-(int(a)&0x0000ffff));
a=(int*)(b+(int(a)&0x0000ffff));
}
else
{
b=(int*)(a-b);
a=(int*)(a-(int(b)&0x0000ffff));
b=(int*)(a+(int(b)&0x0000ffff));
}
算法做的最大改进就是采用位运算中的与运算“int(a)&0x0000ffff”,因为地址中高16位为段地址,后16位为位移地址,将它和0x0000ffff进行与运算后,段地址被屏蔽,只保留位移地址。这样就原始算法吻合,从而得到正确的结果。
此算法同样没有使用第三变量就完成了值的交换,与算术算法比较它显得不好理解,但是它有它的优点即在交换很大的数据类型时,它的执行速度比算术算法快。因为它交换的时地址,而变量值在内存中是没有移动过的。

以上四个算法均实现了不借助其他变量来完成两个变量值的交换,相比较而言算术算法和位算法计算量相当,地址算法中计算较复杂,却可以很轻松的实现大类型(比如自定义的类或结构)的交换,而算术算法和位算法只能进行整形数据的交换,而引用第三变量的算法无疑是最好的,能够解决任意类型的交换问题。

通常我们的做法是(尤其是在学习阶段):定义一个新的变量,借助它完成交换。代码如下:
int a,b;
a=10; b=15;
int t;
t=a; a=b; b=t;
这种算法易于理解,特别适合帮助初学者了解计算机程序的特点,是赋值语句的经典应用。在实际软件开发当中,此算法简单明了,不会产生歧义,便于程序员之间的交流,一般情况下碰到交换变量值的问题,都应采用此算法(以下称为标准算法)。

上面的算法最大的缺点就是需要借助一个临时变量。那么不借助临时变量可以实现交换吗?答案是肯定的!这里我们可以用三种算法来实现:1)算术运算;2)指针地址操作;3)位运算;4)栈实现。

1) 算术运算
int a,b;
a=10;b=12;
a=b-a; //a=2;b=12
b=b-a; //a=2;b=10
a=b+a; //a=12;b=10
它的原理是:把a、b看做数轴上的点,围绕两点间的距离来进行计算。
具体过程:第一句“a=b-a”求出ab两点的距离,并且将其保存在a中;第二句“b=b-a”求出a到原点的距离(b到原点的距离与ab两点距离之差),并且将其保存在b中;第三句“a=b+a”求出b到原点的距离(a到原点距离与ab两点距离之和),并且将其保存在a中。完成交换。
此算法与标准算法相比,多了三个计算的过程,但是没有借助临时变量。(以下称为算术算法)
缺点:是只能用于数字类型,字符串之类的就不可以了。a+b有可能溢出(超出int的范围),溢出是相对的, +了溢出了,-回来不就好了,所以溢出不溢出没关系,就是不安全。

2) 指针地址操作
因为对地址的操作实际上进行的是整数运算,比如:两个地址相减得到一个整数,表示两个变量在内存中的储存位置隔了多少个字节;地址和一个整数相加即“a+10”表示以a为基地址的在a后10个a类数据单元的地址。所以理论上可以通过和算术算法类似的运算来完成地址的交换,从而达到交换变量的目的。即:
int *a,*b; //假设
*a=new int(10);
*b=new int(20); //&a=0x00001000h,&b=0x00001200h
a=(int*)(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001200h
b=(int*)(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001000h
a=(int*)(b+int(a)); //&a=0x00001200h,&b=0x00001000h
通过以上运算a、b的地址真的已经完成了交换,且a指向了原先b指向的值,b指向原先a指向的值了吗?上面的代码可以通过编译,但是执行结果却令人匪夷所思!原因何在?
首先必须了解,操作系统把内存分为几个区域:系统代码/数据区、应用程序代码/数据区、堆栈区、全局数据区等等。在编译源程序时,常量、全局变量等都放入全局数据区,局部变量、动态变量则放入堆栈区。这样当算法执行到“a=(int*)(b-a)”时,a的值并不是0x00000200h,而是要加上变量a所在内存区的基地址,实际的结果是:0x008f0200h,其中0x008f即为基地址,0200即为a在该内存区的位移。它是由编译器自动添加的。因此导致以后的地址计算均不正确,使得a,b指向所在区的其他内存单元。再次,地址运算不能出现负数,即当a的地址大于b的地址时,b-a<0,系统自动采用补码的形式表示负的位移,由此会产生错误,导致与前面同样的结果。
有办法解决吗?当然!以下是改进的算法:
if(a<b)
{
a=(int*)(b-a);
b=(int*)(b-(int(a)&0x0000ffff));
a=(int*)(b+(int(a)&0x0000ffff));
}
else
{
b=(int*)(a-b);
a=(int*)(a-(int(b)&0x0000ffff));
b=(int*)(a+(int(b)&0x0000ffff));
}
算法做的最大改进就是采用位运算中的与运算“int(a)&0x0000ffff”,因为地址中高16位为段地址,后16位为位移地址,将它和0x0000ffff进行与运算后,段地址被屏蔽,只保留位移地址。这样就原始算法吻合,从而得到正确的结果。
此算法同样没有使用第三变量就完成了值的交换,与算术算法比较它显得不好理解,但是它有它的优点即在交换很大的数据类型时,它的执行速度比算术算法快。因为它交换的时地址,而变量值在内存中是没有移动过的。(以下称为地址算法)

3) 位运算
int a=10,b=12; //a=1010^b=1100;
a=a^b; //a=0110^b=1100;
b=a^b; //a=0110^b=1010;
a=a^b; //a=1100=12;b=1010;
此算法能够实现是由异或运算的特点决定的,通过异或运算能够使数据中的某些位翻转,其他位不变。这就意味着任意一个数与任意一个给定的值连续异或两次,值不变。
 
4)栈实现。不多解释了,栈和相关函数定义省去。
int exchange(int x,int y)
{
 stack S;
 push(S,x);
 push(S,y);
 x=pop(S);
 y=pop(S);
}

以上算法均实现了不借助其他变量来完成两个变量值的交换,相比较而言算术算法和位算法计算量相当,地址算法中计算较复杂,却可以很轻松的实现大类型(比如自定义的类或结构)的交换,而前两种只能进行整形数据的交换(理论上重载“^”运算符,也可以实现任意结构的交换)。
介绍这三种算法并不是要应用到实践当中,而是为了探讨技术,展示程序设计的魅力。从中可以看出,数学中的小技巧对程序设计而言具有相当的影响力,运用得当会有意想不到的神奇效果。而从实际的软件开发看,标准算法无疑是最好的,能够解决任意类型的交换问题。

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